لینک پرداخت و دانلود *پایین مطلب*
فرمت فایل:Word (قابل ویرایش و آماده پرینت)
تعداد صفحه: 57
تئوری احتمالات
1- ظرف شماره I حاوی 7 توپ قرمز و 3 توپ سفید است و در ظرف شماره II چهار توپ قرمز و 6 توپ سفید وجود دارد. توپ‌ها هم اندازه و هم شکل‌اند. دو توپ به تصادف و بدون جایگذاری از ظرف شماره I انتخاب و داخل ظرف شماره II قرارداده می‌شود. آن گاه 3 توپ تصادفی و بدون جایگذاری از ظرف شماره II انتخاب و خارج می‌شوند. در این صورت مطلوبست تعیین:
الف) احتمال اینکه هر سه توپ خارج شده از ظرف شماره II سفید رنگ باشند.
ب) با فرض اینکه هر سه توپ خارج شده از ظرف شماره II سفید رنگ است، احتمال اینکه 2 تای آنها از ظرف شماره I به ظرف شماره II منتقل شده‌اند.
حل: الف)
A: I پیشامد قرمز بودن 2 توپ از ظرف
B: I پیشامد سفید بودن 2 توپ از ظرف
C: I پیشامد یک توپ قرمز و یکی سفید از ظرف
W: II پیشامد سفید بودن هر سه توپ از ظرف
P (W) = P(W | A) P(A) + P(W | B) P(B) + P (W | C) P(C)
ب)
2- می‌دانیم که 48 درصد از خانم‌ها و 37 درصد از آقایان معتاد به سیگار که در کلاس‌های ترک سیگار شرکت می‌کنند دست کم، به مدت یک سال بعد از اتمام کلاس‌های سیگار نمی‌کشند. اگر بعد از پایان یک سال همه افرادی که ترک سیگار کرده‌اند در جشنی که به همین مناسبت برگزار می‌شود شرکت کنند و بدانیم که 62 درصد از کل افرادی که در کلاس‌ها شرکت کرده‌اند را آقایان تشکیل داده‌اند،
الف) چند درصد از کل افرادی که در کلاس‌ها بوده‌اند در جشن شرکت کرده‌اند؟
حل: الف)
62/0 = P(A) پیشامد آقایانی که در کلاس شرکت کرده‌اند : A
48/0 = P(B | AC) و 37/0 = P(B | A) پیشامد از آقایان معتاد به سیگار که در کلاس شرکت کرده‌اند: P(B | A)
کسانی که سیگار را ترک کرده‌اند: B
411/0 = 38/0 × 48/0 + 63/0 × 37/0 = P(B) = P(B | A). P(A) + P(B | AC) P(AC)
3- در یک حراج مجموع هنری 4 اثر از دالیز، 5 اثر از ون گوک و 6 اثر از پیکاسو وجود دارد و 5 نفر خریدار همه این آثار هستند. اگر یک گزارشگر فقط تعداد هر اثر خریداری شده توسط هر خریدار را گزارش بدهد به چند طریق مختلف می‌توان نتیجه را گزارش کرد؟
حل:
(تعداد جوابهای 5= X1 + X2 + X3 + X4 + X5) × (تعداد جوابهای 4= X1 + X2 + X3 + X4 + X5)
= (تعداد جوابهای 6= X1 + X2 + X3 + X4 + X5) X
4- فرض کنید خطای اندازه‌گیری دما در یک آزمایش شیمیایی متغیر تصادفی و پیوسته مانند X با چگالی احتمالی زیر است:
الف) نشان دهید که f(x) واقعاً یک چگالی احتمال است.
ب) احتمال اینکه 6 > x > 0 و 1 > x را محاسبه کنید.
حل:
الف) مقدار تابع چگالی در خارج از محدوده تعریف شده برابر صفر است.
0 = f(x)
I: f(x) ≥ 0
5- مدت زمانی که (واحد به ساعت) یک کامپیوتر قبل از خراب شدن کار می‌کند با متغیر تصادفی پیوسته X معرفی می‌شود که چگالی احتمال آن به صورت زیر است:
0 ≤ x
احتمال اینکه کامپیوتر بین 50 تا 150 ساعت کار کند را بدست آورید.
حل: ابتدا باید مقدار ثابت λ را محاسبه کنیم:
6- در مخزن یک جایگاه فروش بنزین هفته‌ای یک بار بنزین ریخته می‌شود. اگر مقدار فروش بنزین در این جایگاه در هفته (به هزار لیتر) متغیر تصادفی X با چگالی احتمال
1 > x > 0 ؛ 4(x – 1) 5 = f(x)
باشد حجم مخزن بنزین چقدر باشد تا احتمال خالی شدن آن در طول یک هفته فقط 01/0 شود؟
حل:
V = حجم مخزن بنزین
X = مقدار فروش بنزین در هفته
P(x > V) = 01/0
10- یک آزمایش آنقدر تکرار می‌شود تا سرانجام به موفقیت برسد احتمال کسی موفقیت در هر بار تکرار 25/0 است. هزینه انجام هر آزمایش 25000 تومان است، علاوه بر این اگر آزمایش به شکست برسد مبلغ 5000 تومان برای آماده کردن شرایط برای آزمایش بعدی مورد نیاز است:
الف) هزینه مورد انتظار انجام آزمایش‌های فوق را محاسبه نمایید.
ب) اگر بودجه کل انجام پروژه 000/500 تومان باشد احتمال عدم موفقیت پروژه را محاسبه نمایید.
حل:
X یک توزیع هندسی با پارامتر 25/0 = P است → تعداد آزمایش لازم برای رسیدن به اولین موفقیت: X
5000- X 30000 = 500 (1- X) + X 25000 = C(X)
115000= 5000- 30000 = 5000- E (x) 30000 = E(C(x))
(83/16 < X) P = ( < X) P = (000/500 < 5000 – x 300000) P =
(000/500 < P(C(x)
01/0 = 16(25/0 – 1) = (17 ≤ P(X =
11- تعداد ترک خوردگی‌ها در سطح بزرگراهی توزیع پواسون با میانگین در کیلومتر دارد.
الف) احتمال اینکه در یک فاصله (KM) 10 هیچ ترکی وجود نداشته باشد.
ب) احتمال اینک در دو فاصله مجزا هر یک به طول KM 5، ترکی وجود نداشته باشد.
ج) اگر در یک فاصله KM 15، 4 ترک وجود داشته باشد احتمال اینکه در KM5 اول فقط 1 ترک وجود داشته باشد.
حل:
الف)
2-P(X= 0) = e
ب)
1-P(X=0) = e
2-e = 1-e. 1-e = احتمال وجود نداشتن ترک در دو فاصله مجزا
ج)
12- اندازه قطر خارجی میله‌های تولید شده یک توزیع نرمال با میانگین 8 و 25/0 و انحراف استاندارد 0005/0 سانتیمتر دارد. اگر اندازه مناسب برای قطر خارجی برابر 0015/0 ± 25/0 باشد چند درصد از میله‌های تولید شده، نامناسب است؟
حل:
X: اندازه قطر خارجی
X ~ N (0005/0 و 8 و 25/0)
(2515/0 > X > 2485/0) P = (0015/0 + 25/0 > X > 0015/0 – 25/0 ) = P احتمال اینکه یک قطعه با کیفیت مناسب تولید شود.
(6/4-) φ – (4/1) φ = φ
9192/0 [1- 1] – 9192/0 = [(6/4) φ – 1] – (4/1) φ
%08/8= % (9192/0 – 1) = درصد قطعات نامناسب تولید شده
14- خط مشی خرید یکی از خریداران قطعات الکترونیکی، که آنها را در بسته‌های 10 تایی خریداری می‌کند، این است که به صورت تصادفی 3 قطعه از یک بسته را انتخاب کند و پس از بازرسی، بسته را به صورتی بپذیرد که هر 3 قطعه انتخاب شده سالم باشند. اگر بدانیم که در 30 درصد از بسته‌ها 4 قطعه خراب موجود است و بقیه آنها یک قطعه خراب دارند، چند درصد از بسته‌ها خریداری می‌شود؟
حل: A را به عنوان پذیرفتن یک بسته و B2, B1 را به ترتیب، پیشامدهای موجود بودن 4 قطعه و یک قطعه خراب در بسته انتخاب شده در نظر می‌گیریم. در این صورت داریم:
P(A)= P(A | B1) P(B1) + P(A | B2) P(B2)
- بنابراین 46 درصد از بسته‌ها را خریدار نمی‌پذیرد.
15- در پنجمین پرتاب سه سکه سالم، احتمال اینکه برای بار دوم سه نتیجه شیر یا سه نتیجه خط بدست آید چقدر است؟
حل: با استفاده از توزیع دو جمله‌ای منفی با پارامترهای 2 = K و
16- فرض کنید زمین لرزه بر اساس یک فرآیند پواسون با آهنگ 2 زمین لرزه در طول یک هفته اتفاق می‌افتد. در این صورت احتمال اینکه دست کم، 3 زمین لرزه در طول دو هفته آینده رخ دهد را محاسبه کنید.
حل: اگر متغیر تصادفی X را تعداد زمین لرزه‌ها فرض کنیم، آنگاه X تقریباً توزیع پواسون با پارامتر 4= (2) (2) = tα = λ در نتیجه احتمال مورد نظر برابر است با:
P(X≥ 3) = 1- P (X= 0) – P(X = 1) – P(X = 2) =
17- فرض کنید سه کارت یکسان داریم که یکی از آنها هر دو طرفش قرمز، دیگری هر دو طرفش سیاه و کارت سوم یک طرفش قرمز و یک طرف دیگر آن سیاه است. سه کارت را مخلوط نموده و یکی از آنها را به تصادف انتخاب و روی زمین قرار می‌دهیم اگر طرف بالای کارت انتخاب شده قرمز باشد احتمال اینکه طرف قرار گرفته روی زمین سیاه باشد چقدر است.
18- وقتی که سکه A را پرتاب می‌کنیم با احتمال شیر ظاهر می‌شود در حالی که احتمال ظاهر شدن شیر در سکه B برابر با است. فرض کنید یکی از دو سکه را به تصادف انتخاب نموده و دو مرتبه آن را پرتاب می‌کنیم. اگر هر دو مرتبه شیر ظاهر شود احتمال اینکه سکه B پرتاب شده باشد را بدست آورید.
حل: پیشامد پرتاب سکه B را با B نشان داده و چون P(B) = P(BC) بنابراین داریم:
19- اگر X ~ N (μ = 50, σ2 = 100) باشد (62 ≥ X ≥ 45) P را محاسبه کنید.
حل:
20- نشان دهید اگر متغیرهای تصادفی مستقل X, Y توزیع دو جمله‌ای با پارامترهای به ترتیب (m, p), (n, p) داشته باشند، متغیر تصادفی Z= X + Y نیز توزیع دو جمله‌ای با پارامترهای (m + N, p) خواهد داشت:
حل: تابع مولد گشتاور Z عبارت از:
Mz(t)= MX(t) MY(t)= (Pet + 1- P)n (Pet + 1- P)m = (Pet + 1- P)m+ n
تمرینهای درس تئوری احتمالات
تست اول
1- ثابت کنید پیشامد B ناممکن است اگر و تنها اگر برای هر پیشامد A داشته باشیم:
حل: باید ثابت کنیم:
شرط لازم) B=
شرط کافی)
برهان خلف :
خلاف فرض است
2- تنها با ارقام 2، 4، 6، 8 و 9 چند عدد چهار رقمی می‌توان درست کرد؟ چند عدد از این اعداد ارقام تکراری دارند؟
حل:
625= 5 × 5 × 5 × 5 = تعداد ارقام چهار رقمی
505= 120- 525 = 2 × 3 × 4 × 5 – 625 = تعدادی که ارقام تکراری دارند
این فقط قسمتی از متن تحقیق است . جهت دریافت کل متن تحقیق ، لطفا آن را خریداری نمایید
دانلود تحقیق کامل درمورد تئوری احتمالات
