برای جابجا کردن یک جسم از چهار چرخه استفاده می کنیم ولی اگر جسم سنگین باشد ممکنست محور چرخها در اثر سنگینی جسم کج شده و یا بشکند. همانطور که اغلب دیده ایم برای حرکت دادن چنین اجسامی سنگینی بهتر است چند غلتک استوانه ای شکل (مثل لوله یا میله گرد قطور) را به موازات یکدیگر روی زمین قرار دهیم ، سپس یک صفحه محکم مسطح روی آنها بگذاریم و بعد جسم سنگین را روی این صفحه منتقل نمائیم ، با هل دادن این دستگاه ، صفحه با بارش روی استوانه ها غلتیده و به جلو خواهد رفت . ضمن حرکت باید هر یکاز استوانه ها را که به ترتیب از عقب دستگاه خارج می شوند برداشته و مجداَ در جلو صفحه روی زمین قرار دهیم .
اگر زمینی که دستگاه روی آن حرکت می کند مسطح باشد ، جسم بدون تکان و به محاذات خود خواهد رفت .
علت حرکت بدون تکان جسم اینست که مقطع استوانه ای چرخنده دایره است و دایره نیز به اصطلاح ریاضیدانان یک منحنی مسدود متساوی العرض می باشد که در نتیجه فاصله بین صفحه زیر جسم و زمین همیشه ثابت
می ماند .
اگر یک منحنی مسدود محدب رابین دو خط موازی محاط می کنیم به
طوریکه دو خط با دو سمت متقابل منحنی تماس حاصل می کنند ، فاصله بین دو خط موازی را عرض منحنی در جهت مفروض نامند .
طبق تعریف بالا یک بیضی دارای عرضهای مختلف در جهات مختلف می باشد و بر خلاف دایره ، متساوی العرض نیست .
حال اگر جسمی را روی تعدادی استوانه های بیضی القاعده قرار دهیم مسلماً به طور افقی حرکت نخواهد کرد و دایماً بالا و پایین خواهد جهید ، در حالیکه حرکت هموار همین جسم روی استوانه های با قاعده دایره بدین دلیل است که دایره دارای عرضهای مساوی در جهات مختلف می باشد و می توان آنرا بین دو خط موازی (یا دوصفحه موازی) چرخاند بدون اینکه لازم باشد
فاصله بین خطوط (و یا صفحات) را تغییر دهیم .
غالباً تصور می شود کهدایره تنها شکل هندسی است که در کلیه جهات متساوی العرض می باشد ، در حالیکه تعداد چنین منحنی هایی نامحدود بوده و هر یک از آنها می توانند به عنوان مقطعی از غلتکهای زیر جسم به کار روند و جسم را با نرمی و همواری به جلو رانند . این خود نمونه مثال کاملی است که نشان می دهد چگونه ممکنست تصورات ظاهری یک ریاضیدان باعث گمراهی و انحراف او گردد .
عدم اطلاع و شناخت چنین منحنی هایی نتایج اسف انگیزی در صنعت به بار می آورد ، بطور نمونه ممکنست در موقع ساختن یک زیربنای دریایی مدور ، فقط قطر مقاطع‌آنرا در جهات مختلف اندازه گرفته و کنترل کنیم . در حالیکه به سهولت مشاهده می شود بدنه چنین زیردریایی دارای ناهمواری های زیادی خواهد بود و هر چه با کنترل اقطار آن بخواهیم ناهمواریها را برطرف کنیم موفق نمی شویم .
به همین دلیل است که کنترل مقاطع مختلف یک زیردریایی و یا سایر صنایع دقیق را توسط قالبها و قواره های مخصوص (Tamplate) انجام می دهند .
ساده ترین منحنی غیر مدور متساوی العرض ، مثلث رلو می باشد که به نام ریاضیدان و استاد دانشکده فنی برلین ، مهندس فرانس رلو نامیده شده است ، ریاضیدانان قبل نیز این منحنی را می شناختند ولی اولین کسی که به خاصیت متساوی العرض بودن آن پی برد رلو بود .
ترسیم وساختن منحنی رلو ساده و به شکل زیر است :
مثلث متساوی الاضلاع دلخواه ABC را رسم کنید (شکل 16) به مرکز A و شعاع AB ، قوس BC را بکشید و به همین ترتیب دو قوس دیگر را رسم کنید . واضح است که مثلث منحنی الاضلاح (نامی که رلو روی آن گذاشته ) مذکور دارای عرضه های ثابت در جهات مختلف بوده و اندازه آنها مساوی ضلع مثلث داخلی می باشند .
اگر یک منحنی متساوی العرض را در داخل دو جفت خطوط موازی عمود به یکدیگر محاط می کنیم ، خطوط محیطی یک مربع را تشکیل خواهند داد که اضلاع آن در همه حالات بر منحنی مفروض مماس خواهند بود .
مثلث رلو شبیه یک دایره و یا سایر منحنیهای متساوی العرض می تواند به سهولت در داخل چنین مربعی بچرخند و در همه حال تماس خود را با اضلاع مربع حفظ کند (شکل 17) .
اگر خواننده یک مثلث رلو را روی یک مقوا کشیده و آنرا قیچی کند و در داخل یک سوراخ مربع شکل مناسب که روی مقوای دیکری در آورده است بچرخاند صحت گفته ما را تصدیق خواهد کرد .
در موقع چرخش مثلث رلو در داخل مربع ، نوک هر یک از گوشه های مثلث تقریباً مسیراضلاع مربع را طی می کنند و فقط در گوشه های مربع یک انحنای کوچک ایجاد می شود .
مثلث رلو موارد استعمال زیادی در صنعت دارد ولی عجیب ترین آنها ابزاریست که با استفاده از خاصیت مذکور ساخته شده است . در سال 1914 مهندس هاری جمس وات انگلیسی بر مبنای خواص مثلث رلو مته دواری اختراع کرد که سوراخ چهارگوش بیرون می آورد ! و تا سال 1916 این مته عجحیب فقط در کارخانه ابزارسازی برادران وات ساخته می شد . در یکی از کاتالوگهای این مته چنین نوشته شده است :
«درست است که اگر کسی درباره لگن پوستی و یا موز چدنی صحبت کند می دانیم که قصد شوخی دارد ولی حالا ما بدون شوخی مته ای را به شما نشان می دهیم که سوراخ چهارگوش در می آورد . »
چنین دستگاهی در شکل 18 نشان داده شده است . شکل 19 مقطع مته
را نشان می دهد که در ضمن چرخیدن سوراخ مربع ایجاد می کند ، طرز کار آن بدین ترتیب است که: اول یک صفحه فلزی به سوراخ روی جسمی که باید سوراخ شود گذاشته می شود . وقتی که مته در داخل سوراخ نامبرده شروع به چرخش کند ، گوشه های مته یک سوراخ مربع در داخل جسم به وجود
می آورد .
همانطور که مشاهده می شود شکل کلی مقطع مته یک مثلث رلو می باشد که فقط در سه محل آن بریدگیهایی برای ایجاد لبه های تیز به وجود آمده تا بتواند عمل تراشیدن را انجام دهد .
چون محور مته در موقع چرخش تغییر مکان می دهد لازم است که نگهدارنده مته به شکلی ساخته شود تا اجازه چنین حرکت خارج از مرکزی به مته داده شود . این عمل نیز توسط مکانیسمی در داخل نگهدارنده انجام می گیرد . که حق ساختن آن در انحصار شرکت سازنده آن است و برای اطلاع بیشتر از مکانیسم آن می توان به کاتالوگها و دفترچه مشخصات فنی این مته مراجعه کرد .
مثلث رلو منحنی مسدود ممتساوی العرضی است که با عرض مفروض n در بین سایر اشکال دارای کمترین مساحت می باشد (مساحت آن مساوی است با و همچنین هر یک از زوایای رئوس آن 120 درجه
می باشد که کوچکترین زاویه ممکنه برای چنین منحنی می باشد .
اگر اضلاع مثلث متساوی الاضلاع داخلی را از هر طرف به طور مساوی امتداددهیم می توانیم گوشه های مثلث رلورا گردتر کرده و از تیزی آن بکاهیم (مطابق شکل 20 ) به مرکز A و دو شعاع AD و AG دو قوس DI و GF را رسم می کنیم و این عمل را برای سایر گوشه ها تکرار می کنیم ، عرض منحنی حاصله در جمیع جهات مساوی و برابر با مجموع دو شعاع نامبرده یعنی DG خواهد بود . و بدین صورت یک منحنی متساوی العرض با گوشه های گرد به دست خواهیم آورد . همان اعمالی که درباره مثلث متساوی الاضلاع انجام دادیم می توانیم درباره یک پنج ضلعی منتظم (و یا هر کثیر الاضلاع منتظم دیگری که تعداد اضلاع آن فرد باشد ) تکرار کنیم و
منحنی های متساوی العرض متقارن دیگری به دست آوریم .
برای رسم منحنیهای متساوی العرض نامتقارن طرق مختلفه ای وجود دارد . یک نوع آن ترسیم به وسیله ستاره های چندپر نامنظم (با تعداد
پره های فرد ) است که نمونه ای از ان ستاره هفت پر شکل 21 می باشد . به این نکته باید توجه داشت که تمام پاره خطهایی که ستاره را تشکیل می دهند باید با یکدیگر مساوی باشند . اگر به مرکز هر یک از نوکهای پره های ستاره ، دو نوک تقابل را باقوسی به یکدیگر وصل کنیم چون شعاع تمام قوسها مساوی است ، منحنی حاصله (منحنی داخلی شکل 21) متساوی العرض خواهد بود . با روشی که قبلاً ذکر شد می توانیم گوشه های تیز این منحنی را گرد کنیم . کافی است که هر یک از پاره خطهای ستاره را به یک اندازه از دو طرف امتداد دهیم (خطوط خط چین) و انتهای آنها را با قوسهایی به مرکز نوک ستاره ها به یکدیگر متصل نماییم ، منحنی با گوشه های مدور حاصله (منحنی خارجی شکل 21) نیز متساوی العرض خواهد بود .
شکل 22 طریقه ترسیم دیگری را بیان می کند بدین نحو که هر چند خط مستقیم میل دارید رسم کنید به طوری که به ترتیب هر یک دیگری را قطع کند. هر قوسی که رسم می کنید باید به دو خط متقاطع محدود شود و مرکز قوس مفروش نیز محل تقاطع آن دو خط باشد .
به روش ساده تر چنین می توان عمل کرد که مثلاً دو خط متقاطع A و B رسم کنید ، به مرکز تقاطع A و B و شعاع دلخواه در یکی از زوایای حاده این دو خط قوسی رسم کنید ، سپس خط C را متقاطع B بکشید ، به مرکز تقاطع B و C قوس دیگری در امتداد قوس قبلی بین خطوط B و C رسم کنید . بالاخره خط N را که متقاطع خط A باشد رسم کنید . و به مرکز تقاطع A و N قوس دیگری در امتداد قوسهای قبلی بین خطوط A وN رسم کنید . اکنون نیمی از منحنی رسم شده است ، برای تکمیل آن به ترتیب به مراکز قبلی قوسهای متقابل را در دنباله قوسهای قبل بزنید ، اگر این عمل را با دقت انجام دهید منحنی بسته خواهد شد و عرض آن در تمام جهات مساوی خواهد بود . (اثبات بسته شدن منحنی و متساوی العرض بودن ان خیلی ساده و شیرین است . اگر خواننده خواسته باشد می تواندمدتی از وقت خود را به اثبات این سرگرمی جالب مشغول بدارد).
لازم نیست که هر منحنی متساوی العرضی حتما از مجموع قوسهای دایره ترکیب شده باشد ، بلکه می توانید یک منحنی محدب دلخواهی را در داخل یک مربع بکشید به طوری که از یک نقطه در ضلع بالای مربع شروع شده وپس از تماس با ضلع چپ تا نقطه قرینه شروع منحنی و تا ضلع پایین امتداد پیدا کند (قوس ABC شکل 23 ) این منحنی قسمت چپ یک منحنی متساوی العرض خواهد بود . برای پیدا کردن قسمت راست آن کافیست خطوط بیشماری که هر یک موازی با مماس منحنی باشند رسم کنیم به طوری که فاصله این خوط با خطوط موازی مماس آنها مساوی ضلع مربع باشد . این عمل را می توانیم با دو لبه یک خط کش به سهولت انجام دهیم . عرض چنین خط کشی باید مساوی ضلع مربع باشد . یک لبه خط کش را طوری قرار می دهیم که بر یکی از نقاط قوس ABC مماس باشد و از لبه دیگر خط کش برای کشیدن خط موازی استفاده می کنیم . این عمل را در تمام نقاط منحنی از ابتدا تا انتها ادامه می دهیم . نصف راست منحنی مفروض پوش این خطوط خواهد بود . بدینوسیله می توانیم هر نوع منحنی مسدود متساوی العرض دلخواهی به دست آوریم .
لازمست توضیح داده شود که قوس ABC نمی تواند کاملاً اختیاری باشد . به طور اجمال می توان گفت که خمیدگی و انحنای قوس در هر نقطه نباید کمتر از انحنای دایره ای به شعاع ضلع مربع باشد . مثلاً نمی تواند در هیچ نقطه ای دارای پاره خط مستقیم باشد .
اگر شما در کارهای نجاری مهارت دارید ، می توانید برای تفریح چند غلتک استوانه ای بسازید که مقطع آنها منحنی متساوی العرض مختلف الشکل ولی هم عرض باشد . هر گاه یک کتاب بزرگ روی آن قرار دهید و کتاب را حرکت دهید . اغلب کسانی که آنرا مشاهده می کنند ، از اینکه می بینند کگتاب بدون تکان و پایین و بالا رفتن ، به طور یکنواخت روی این غلتکهای جوراجور
حرکت می کند تعجب خواهند کرد .
طریق دیگر برای نشان دادن خاصیت چنین منحنیهایی اینست که از مقوا دو قطعه منحنی متساوی العرض مختلف الشکل که عرض هر دو به یک اندازه باشد بریده و آنها را به دو سمت یک گرده چوب نازک به طول تقریباً 15 سانتی متر میخ کنید . لازم نیست که محل میخ کوبی در جایی که حدس می زنید مرکز منحنی است باشد ، بلکه هر جا که میل داشتید میخ را بکوبید . یک جعبه توخالی سبک به طول بیش از 15 سانتیمتر را روی آنها قرار دهید به طوریکه با مقواهای متساوی العرض تماس داشته باشد . جعبه را جلو و عقب ببرید ، دوسر گرده چوب به طور ناموزونی بالا و پایین می رود در حالی که جعبه به طور افقی و بدون تکان مثل اینکه روی دو چرخ دایره شکل بغلتد حرکت می کند .
درباره خواص منحنیهای متساوی العرض مطالعات زیادی به عمل آمده . یکی از خواص جالب آنها (که اثباتش به این سادگیها هم نیست ) اینست که طول محیط کلیه منحنیهای متساوی العرض مختلف الشکل که دارای عرض ثابت n باشندبا یکدیگر مساویست و چون دایره نیز خود یک منحنی متساوی العرض است بنابراین محیط هر منحنی متساوی العرضی با عرض n مساوی
یعنی مساوی محیط دایره ای با قطر n می باشد .
در مقام مقایسه با منحنیهای متساوی العرض ، اجسام سه بعدی متساوی العرض می باشند . می دانیم کره حجمی است که می تواند در داخل یک مکعب بچرخد در حالی که همیشه با شش وجه مکعب تماس داشته باشد . ولی این خاصیت تنها منحصر به کره نیست بلکه سایر اجسام متساوی العرض نیز چنین خاصیتی دارند . تعداد اجسام متساوی العرض نیز نامحدود است . یکی از آنها حجمی است که از دوران مثلث رلو یکی از محورهای تقارنش به دست می آید (تصویر سمت چپ شکل 24) . نوع دیگر آن حجمی است که از مقایسه با مثلث رلو ، به وسیله چهاروجهی منتظم ساخته می شود. چنین حجمی نیز در بین سایر حجم های به عرض مساوی n دارای کمترین حجم می باشد . برای ساختن آن (مشابه با روش مثلث رلو ) بر هر یک از چهار وجه یک چهار وجهی منتظم ، چهار عرقچین کروی به شعاع یال چهار وجهی قرار می دهیم .
فرمت این مقاله به صورت Word و با قابلیت ویرایش میباشد
تعداد صفحات این مقاله 26 صفحه
پس از پرداخت ، میتوانید مقاله را به صورت انلاین دانلود کنید
دانلود مقاله مثلث های رلو
